Funkcja kwadratowa z parametrem

Istnieje wiele typów zagadnień wykorzystania parametrów w funkcji kwadratowej, poniżej przedstawimy warunki które należy napisać i rozwiązać dla przedstawionych problemów.

Przypadek 1

Dla jakich wartości parametru funkcja y=-x^2+(p^2-1)x-2 jest rosnąca w przedziale (-{infty},3 ) i malejąca w przedziale (3,+ {infty}) ?

Jeśli funkcja ma być monotoniczna w takich przedziałach, oznacza to, iż w punkcie x=3 znajduje się wierzchołek dla podanego przykładu współrzędna wierzchołka na osi OX będzie opisana zależnością

$p={-(p^2-1)}/{-2}=1/2(p^2-1)$

następnie przyrównujemy ją do liczby 3 i obliczamy pierwiastki otrzymanego równania:

1/2(p^2-1)=3
p= sqrt{7} lub p=- sqrt{7}

Przypadek 2

Dla jakich wartości parametru funkcja y=(p-1)x^2+px-3 przyjmuje tylko wartości ujemne?

W tak skonstruowanym zadaniu musimy przyjąć dwa warunki opisujące to, że funkcja ma ramiona skierowane do dołu oraz nie posiada żadnych pierwiastków rzeczywistych:

{lbrace}matrix{2}{1}{{a<0}{Delta <0}}

${lbrace}matrix{2}{1}{{p-1<0}{p^2-4*(p-1)*(-3)}}$

rozwiązujemy otrzymany układ nierówności, a z otrzymanych przedziałów tworzymy część wspólną:

p {in} (-6-4sqrt{3},-6+4sqrt{3})

Przypadek 3

Dla jakich wartości parametru wartość funkcji y=-px^2+2px+1 nie przekracza liczby ?

W takim wypadku musimy rozpisywać dwa warunki, uwzględniając to, że funkcja mając wartość największą musi mieć ramiona skierowane do dołu oraz wartość współrzędnej wierzchołka musi być mniejsza równa :

{lbrace}matrix{2}{1}{{a<0}{q<=3}}

${lbrace}matrix{2}{1}{{-p<0}{{-(4p^2+4p)}/{-4p}<=3}}$

Wynikiem takiego układu nierówności jest przedział p {in} (0,2>” title=”p {in} (0,2>”/></p>
<h4>Przypadek 4</h4>
<p>Dla jakich wartości parametru <img src= argument znajduje się pomiędzy miejscami zerowymi funkcji y=x^2-2x+4p

Aby dana liczba znajdowała się pomiędzy miejscami zerowymi funkcji, funkcja ta musi posiadać dwa miejsca zerowe oraz gdy ramiona są skierowane do góry, wartość funkcji w tym punkcie musi być mniejsza od zera:

{lbrace}matrix{2}{1}{{Delta>0}{f(4)<0}}