Równania i nierówności kwadratowe

Równanie kwadratowe rozwiązujemy stosując kilkuetapowy schemat najpierw jeśli to koniecznie wykonujemy działania po obu stronach równania, tj. dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, podnoszenie do potęgi, następnie po uporządkowaniu wszystkie elementy przenosimy na lewą stronę równania, tak aby po prawej pozostało jedynie zero.

4x^2-1=(2x-1)(x+3)
4x^2-1=2x^2+6x-x-3
4x^2-1-2x^2-6x+x+3=0
2x^2-5x+2=0

,kolejnym etapem jest wyliczenie DELTY równania kwadratowego:

${Delta}=b^2-4ac$
${Delta}=(-5)^2-4*2*2=25-16=9$
sqrt{Delta}=3

W ostatnim etapie wyliczamy miejsca zerowe funkcji, zależnie od wartości wyróżnika funkcji z odpowiednich wzorów

$x_1={-b-sqrt{Delta}}/{2a}={5-3}/{2*2}=2/4=1/2$
$x_2={-b+sqrt{Delta}}/{2a}={5+3}/{2*2}=8/4=2$

rozwiązaniami powyższego równania są liczby 1/2 oraz w przypadku równania kwadratowego którego delta jest równa zero otrzymujemy jedno rozwiązanie, co pokazano poniżej na uporządkowanym już przykładzie

9x^2-30x+25=0
Delta=b^2-4ac
Delta=(-30)^2-4*9*25=900-900=0
$x_0={-b}/{2a}=30/{2*9}=30/18=5/3$

,gdy otrzymane po uporządkowaniu równanie daje nam deltę mniejszą od zera, równanie takie nie ma rozwiązania.

2x^2-x+7=0
Delta=b^2-4ac
Delta=(-1)^2-4*2*7=1-56=-55
Delta < 0

w przypadku nierówności postępujemy w taki sam sposób jak z równaniami, dodając jeden krok obliczeń po otrzymaniu miejsc zerowych (rozwiązań), poniżej przedstawiono możliwe sytuacje z jakimi możecie się spotkać rozwiązując nierówności

Przypadek 1

x^2+2x-3[pmath size=16]Delta=b^2-4ac
Delta=2^2-4*1*(-3)=4+12=16
sqrt{Delta}=4
$x_1={-b-sqrt{Delta}}/{2a}={-2-4}/{2*1}=-6/2=-3$
$x_2={-b+sqrt{Delta}}/{2a}={-2+4}/{2*1}=2/2=1$

gdy obliczymy miejsca zerowe następnie rysujemy oś OX układu współrzędnych i zaznaczamy na niej w odpowiedniej kolejności otrzymane rozwiązania, patrzymy na znak liczby a w równaniu i rysujemy zależnie od niej parabolę z ramionami w górę lub w dół

Rysunek 1a

patrzymy na znak nierówności, w naszym przypadku funkcja ma być większa od zera, czyli bierzemy pod uwagę jedynie te argumenty x dla których funkcja jest nad osią OX,

Rysunek 1b

na podstawie rysunku odczytujemy na osi OX przedział nad którym zamalowaliśmy pole pod funkcją

x {in} {lbrace}-{infty},-3{rbrace}{union}{lbrace}1,+{infty}{rbrace}

Przypadek 2

-2x^2+9x-9>=0″ title=”-2x^2+9x-9>=0″/><br />
<img src=
Delta=9^2-4*(-2)*(-9)=81-72=9
sqrt{Delta}=3
$x_1={-b-sqrt{Delta}}/{2a}={-9-3}/{2*(-2)}=-12/-4=3$
$x_1={-b+sqrt{Delta}}/{2a}={-9+3}/{2*(-2)}=-6/-4=3/2$

Rysunek —–2—-

Równania i nierówności kwadratowe

Przypadek 3

Teraz rozważmy nierówność kwadratową której delta jest równa zero
x^2-2x+1=0

Delta=b^2-4ac
Delta=(-2)^2-4*1*1=4-4=0
$x_0=-b/{2a}=2/{2*1}=1$

w takim przypadku gdy funkcja kwadratowa jest większa równa zero, wszystkie elementy na osi OX należą do tej nierówności i otrzymujemy odpowiedź postaci

——- – - – - – - rysunek 3

x {in} {bbR}

Przypadek 4

-x^2+10x-25>0″ title=”-x^2+10x-25>0″/><br />
<img src=
Delta=10^2-4*(-1)*(-25)=100-100=0
$x_0=-b/(2a)=-10/{2*(-1)}=5$

- – — — – - – — Rysunek 5

W takim przypadku funkcja nigdy nie znajduje się nad osią, więc nigdy nie jest większa od zera więc taka nierówność nie posiada żadnego rozwiązania co zapisujemy w następujący sposób

x {in} zbiór pusty