Równania i nierówności logarytmiczne

Aby rozwiązać równanie logarytmiczne zawsze należy najpierw wyznaczyć założenia dla danego przypadku. Sposób rozwiązania równania logarytmicznego pokazano poniżej.

Przykład jak rozwiązań równanie

$log_{3}{[log_{4}{(x-1)}]}=0$

W pierwszej kolejności zapisujemy odpowiednie założenia.
Korzystamy tu z własności funkcji logarytmicznej.

x-1>0″ title=”x-1>0″/><img src=
x>1″ title=”x>1″/><img src=

$log_{4}{(x-1)}>0″ title=”log_{4}{(x-1)}>0″/><img src=$
$log_{x}{(x-1)}>log_{4}{1}” title=”log_{x}{(x-1)}>log_{4}{1}”/><img src=$
x-1>1″ title=”x-1>1″/><img src=
x>2″ title=”x>2″/><img src=

Wspólnym zbiorem obu warunków jest przedział x {in} (2,+ {infty}) i wśród liczb należących do tego zbioru będziemy poszukiwać naszego rozwiązania.

$log_{3}{[log_{4}{(x-1)}]}=0$

$log_{3}{[log_{4}{(x-1)}]}=log_{3}1$

$log_{4}{(x-1)}=1$

$log_{4}{(x-1)}=log_{4}4$

x-1=4

x=5

Nasze rozwiązanie x=5 należy do naszego zbioru rozwiązań, więc jest to odpowiedź do zadania.

Nierówności logarytmiczne pokażemy na dwóch przykładach. W pierwszym podstawa logarytmu będzie należeć do przedziału (1,+ {infty}) , w drugim natomiast (0,1) . Gdy podstawa jest większa od 1.

Przykład – Rozwiąż nierówność

$log_{3}{(2x-7)}<=2-log_{3}{(8-x)}$

W tym zadaniu musimy wyliczyć dwa założenia:

2x-7 > 0″ title=”2x-7 > 0″/><img src=
x > 7/2″ title=”x > 7/2″/><img src=

oraz

8-x > 0″ title=”8-x > 0″/><img src=
x < 0

Częścią wspólną obu warunków jest przedział:
x {in} (7/2,8)

$log_{3}{(2x-7)}<=2-log_{3}{(8-x)}$

$log_{3}{(2x-7)}<=log_{3}{9}-log_{3}{(8-x)}$

$log_{3}{(2x-7)}<=log_{3}{9/{8-x}}$

2x-7-9/{8-x}<=0

{(2x-7)(8-x)}/{8-x}-9/{8-x}<=0

${-2x^2+23x-65}/{8-x}<=0$

(-2x^2+23x-65)(8-x)<=0

Miejscami zerowymi są:

${lbrace}matrix{3}{1}{{x_1=5} {x_2=6,5} {x_3=8}}$

Rysujemy oś, zaznaczamy miejsca zerowe i rysujemy linię tego wielomianu:

—- RYSUNEK ——

Rozwiązaniem tej nierówności jest przedział
x {in} (- {infty} ,5> {union} <6,5~ , 8)

Ostatnim etapem w tym zadaniu jest stworzenie części wspólnej otrzymanego przedziału i założenia. Konfrontując oba przedziały otrzymujemy odpowiedź:

x {in} (3,5~,5> {union} <6,5~,8)

Przykład – Rozwiązać nierówność

$log_{1/2}{(x-1)}+log_{1/2}{(x+3)}<=log_{1/2}{(5)}$

W tym zadaniu również musimy podać dwa założenia:

x-1>0″ title=”x-1>0″/><img src=
x>1″ title=”x>1″/><img src=

oraz

x+3>0″ title=”x+3>0″/><img src=
x>-1″ title=”x>-1″/><img src=

Częścią wspólną obu warunków jest przedział:

x{in}(1,+ {infty})

Następnie rozwiązujemy zadany problem, pamiętając o tym, iż w momencie opuszczenia logarytmów po obu stronach nierówności zmieniamy jej znak, w przypadku gdy podstawa logarytmu należy do przedziału (0,1)