Równania i nierówności wykładnicze

Metodę rozwiązywania równania wykładniczego zrozumiesz na tym przykładzie:

Dane jest równanie wyjściowe:

$(1/4)^{2x+1}=16^{3x-2}$

takie równanie nie ma żadnych założeń wstępnych więc szukamy rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych

x {in} {bbR}

aby rozwiązać takie równanie, musimy obie strony równania doprowadzić do postaci wykładniczych o takich samych podstawach:

$(2^{-2})^{2x+1}=(2^4)^{3x-2}$

$2^{-4x-2}=2^{12x-8}$

z własności funkcji wykładniczej wiemy, że dwie funkcje wykładnicze są sobie równe, gdy zarówno ich podstawy jak i wykładniki są sobie równe. W naszym przypadku obie podstawy przekształciliśmy do tej samej liczby więc teraz możemy przyrównać do siebie wykładniki.

-4x-2=12x-8

Rozwiązując równanie otrzymujemy jedno rozwiązanie:

x=3/8

W przypadku nierówności wykładniczych możemy mieć do czynienia z dwoma przypadkami zależnie od wartości podstawy funkcji wykładniczej:

Przykład 1

$(1/3)^{1-x}>=27^{{x-1}/2}” title=”(1/3)^{1-x}>=27^{{x-1}/2}”/><img src=$

Rozwiązanie takiego równania szukamy w zbiorze liczb rzeczywistych x{in}{bbR}

Tak jak w przypadku równania wykładniczego obie strony równania sprowadzamy do takich samych podstaw:

$(3^{-1})^{1-x}>=(3^3)^{{x-1}/2}” title=”(3^{-1})^{1-x}>=(3^3)^{{x-1}/2}”/><br /> <img src=$
$3^{-1+x}>=3^{{3x-3}/2}” title=”3^{-1+x}>=3^{{3x-3}/2}”/><br /> <img src=$
Gdy podstawa obu funkcji wykładniczych po obu stronach równania należy do przedziału: