Równania i nierówności wymierne

Równania wymierne typu {f(x)}/{g(x)}=0
rozwiązujemy w dwóch etapach. Najpierw musimy wyznaczyć punkty które mógłby zerować nam mianownik, by wykluczyć je z dziedziny rozwiązań. Rozwiązujemy następujące wyrażenie g(x) <> 0″ title=”g(x) <> 0″/><img src= .

Mamy już założenie dla naszego równania.
Równanie {f(x)}/{g(x)}=0
będzie równe zero wtedy i tylko wtedy gdy górna funkcja będzie równa zero f(x)=0 i takie równanie rozwiązujemy dalej. Gdy już wyliczymy punkty z tego równania sprawdzamy czy nie są one wykluczone w założeniu. Jeśli nie, są to nasze szukane rozwiązania równania wyjściowego.

Przykład jak rozwiązać równanie

${2x^2-9x-9}/{2x-3}=0$

Najpierw wyznaczamy założenie dla naszego równania

2x-3 <> 0″ title=”2x-3 <> 0″/><img src=

x <> 3/2″ title=”x <> 3/2″/><img src=

Założenie zapisujemy następująco: x {in} bbR {backslash} {lbrace}3/2{rbrace}

Następnie przyrównujemy do zera:

2x^2-9x+9=0

Delta=(-9)^2-4*2*9=81-72=9

sqrt{Delta}=3

$x_1={-b-sqrt{Delta}}/{2a}={9-3}/{2*2}=6/4=3/2$ notin założenia

$x_2={-b-sqrt{Delta}}/{2a}={9+3}/{2*2}=12/4=3$

Wyznaczyliśmy dwa rozwiązania równania kwadratowego, z czego pierwsze z nich jest wykluczone ze zbioru możliwych rozwiązań. Tak więc jedynym rozwiązaniem naszego równania jest liczba x=3 .

Nierówności wymierne typu {f(x)}/{g(x)}>0″ title=”{f(x)}/{g(x)}>0″/><img src= (lub z innym znakiem nierówności) początkowo rozwiązujemy podobnie jak równania. Wyznaczamy założenie tej nierówności z wyrażenia g(x)<>0″ title=”g(x)<>0″/><img src=

Następnie naszą nierówność przekształcamy do postaci
f(x)*g(x)>0″ title=”f(x)*g(x)>0″/><img src=
i dalej rozwiązujemy jak nierówność wielomianową.

Przykład jak rozwiązać nierówność

${x^2-5x+6}/{x^2-12x+35}>=0″ title=”{x^2-5x+6}/{x^2-12x+35}>=0″/><img src=$

Tak jak w przypadku równania wymiernego określamy założenie dla naszej nierówności.

x^2-12x+35<>0″ title=”x^2-12x+35<>0″/><img src=
Delta=(-12)^2-4*1*35=144-140=4
sqrt{Delta}=2
$x_1<>{-b+sqrt{Delta}}/{2a}<>{12-2}/{2*1}<>10/2<>5″ title=”x_1<>{-b+sqrt{Delta}}/{2a}<>{12-2}/{2*1}<>10/2<>5″/><img src=$
$x_2<>{-b+sqrt{Delta}}/{2a}<>{12+2}/{2*1}<>14/2<>7″ title=”x_2<>{-b+sqrt{Delta}}/{2a}<>{12+2}/{2*1}<>14/2<>7″/><img src=$

Założenie zapisujemy następująco: x {in} bbR {backslash} {lbrace}5,7{rbrace}
Następnie nierówność zapisujemy w postaci iloczynowej

(x^2-5x+6)(x^2-12x+35>=0″ title=”(x^2-5x+6)(x^2-12x+35>=0″/><img src=

Wyliczamy miejsca zerowe górnej funkcji i obok zapisujemy miejsca zerowe drugiej wyliczone przy określaniu założenia:

${lbrace}matrix{2}{1}{{x_1=3}{x_2=2}}$ ${lbrace}matrix{2}{1}{{x_3=5}{x_4=7}}$

Obie funkcje możemy zapisać w postaci iloczynowej:

(x-2)(x-3)(x-5)(x-7)>=0″ title=”(x-2)(x-3)(x-5)(x-7)>=0″/> <img src=

Następnie wszystkie punkty zaznaczamy na osi

— RYSUNEK —

Aby sprawdzić skąd poprowadzić linię, pokażę Ci uniwersalną metodę którą można zastosować zarówno w nierównościach wielomianowych, wymiernych jak i logarytmicznych, wykładniczych i trygonometrycznych.
Bierzemy jakąś liczbę więszką od największego miejsca zerowego na naszej osi, np. x=8 i wstawiamy to naszej nierówności i określamy znak w każdym z nawiasów. Jeśli z wymnożenia znaków otrzymujemy plus, linię prowadzimy od góry, gdy minus to od dołu. Oczywiście linię prowadzimy od prawej strony, bo liczbę po prawej strony osi sprawdzaliśmy. W każdym z nawiasów wynik jest dodatni: