Prosta w układzie kartezjańskim

Równanie prostej w postaci kierunkowej, jej własności oraz przekształcenia opisano w rozdziale dotyczącym funkcji liniowej. Każdą prostą w postaci kierunkowej y=ax+b możemy przekształcić do postaci ogólnej:

Postać ogólna:

Ax+By+C=0

Odległość danego punktu od prostej jest to najkrótszy odcinek jaki musimy pokonać pomiędzy nimi. Najkrótsza droga jest zawsze nachylona do prostej pod kątem prostym. Aby obliczyć odległość punktu P=(x_P,y_P) od prostej w układzie kartezjańskim, wykorzystamy prostą w postaci ogólnej Ax+By+C=0 , a dokładnie współczynniki A, B i we wzorze:

$d={delim{|}{Ax_P + By_P + C}{|}}/{sqrt{A^2+B^2}}$

Aby obliczyć ogległość pomiędzy dwoma prostymi y=ax+b i y=ax+c które są równoległe względem siebie. Musimy zamienić oba wzory z postaci kierunkowej na postać ogólną: Ax+By+C=0 oraz Ax+By+D=0 . Następnie współczynniki A, B, C i podstawiamy do poniższego wzoru:

$d={delim{|}{C-D}{|}}/{sqrt{A^2+B^2}}$

Jeżeli dwie proste mają różne współczynniki, wynikają z tego dwa fakty. Przecinają się w pewnym punkcie oraz są do siebie nachylone pod pewnym kątem. Aby wyliczyć punkt przecięcia dwóch prostych $y=a_{1}x+b_1$ oraz $y=a_{2}x+b_2$ rozwiązujemy następujący układ równań, z którego otrzymujemy współrzędne poszukiwanego punktu.

${lbrace}matrix{2}{1}{{y=a_{1}x+b_1} {y=a_{2}x+b_2}}$

Kąt ich nachylenia obliczamy z poniższego wzoru wykorzystując współczynniki kierunkowe obu prostych.

$tg{alpha}=delim{|}{{a_1-a_2}/{1+a_{1}a_{2}}}{|}$

Wzór jest słuszny gdy $a_{1}a_{2}<>-1″ title=”a_{1}a_{2}<>-1″/><img src=$ , czyli dwie proste nie są do siebie prostopadłe.

Prosta w układzie kartezjańskim

Postać ogólna:

Dodaj komentarz Anuluj pisanie odpowiedzi