Dzielenie wielomianów i twierdzenie Bézout

Dzieląc wielomian przez inny niższego stopnia otrzymujemy wielomian o odpowiednio niższej potędze oraz resztę z dzielenia

Jeżeli wtedy otrzymujemy wynik dzielenia postaci:

Aby obliczyć resztę z dzielenia wielomianu przez nie wykonując dzielenia wystarczy obliczyć wartość wielomianu dla , reszta.

Gdy dzielimy wielomian przez czynnik liniowy zawierający jego pierwiastek, reszta jest równa zero, mówimy wtedy o dzieleniu bez reszty.

Jeśli chcemy rozłożyć wielomian metodą dzielenia wielomianów, najpierw musimy znaleźć jakiś jego pierwiastek. Poszukaj go wśród dzielników wyrazu wolnego wielomianu:

Np. dla wielomianu dzielnikami wyrazu wolnego są liczby
Następnie sprawdzamy czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu, czyli czy jego wartość dla danego argumentu jest równa ,
Twierdzenie Bézouta mówi, że jeśli dana liczba a jest pierwiastkiem wielomianu , to ten wielomian jest podzielny przez element liniowy bez reszty.
Dla naszego przykładu wiemy już, że wielomian jest podzielny przez
Poniżej pokazano schemat postępowania w trakcie dzielenia wielomianu przez czynnik liniowy.

—-rysuunek——-

Takim sposobem otrzymaliśmy rozłożony wielomian w postaci:

Następnie obliczamy deltę czynnika kwadratowego

i sprawdzamy, czy możemy dalej go rozłożyć. W naszym przykładzie wyliczone miejsca zerowe są równe odpowiednio oraz . Przedstawiając czynnik kwadratowy w postaci iloczynwej otrzymujemy w pełni rozłożony wielomian

---

W następnym dziale znajdują równania wielomianowe, które są uzupełnieniem tego działu.